TB3A_Ch4_特殊線與心_ToolCard總結.md

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TB(3A) Ch. 4 特殊線與心 — Past Paper Tool Card 總結

涵蓋 GHS Past Paper Question Bank 全份：

  • CQ（長答題）12題（16-17至20-21 Mid-year/Final Exam）
  • MC（選擇題）24題（16-17至20-21 Mid-year/Final Exam，7頁） 用法：做題時先掃一眼「Trigger」欄，凡見到符合條件的關鍵詞/圖形特徵，直接跳去對應「Tool」， 不用每次重新從頭推導。長答題來源標「Q1」～「Q12」；選擇題來源標「MC1」～「MC24」（依全書題序）。

一、Trigger → Tool 總表（按主題分類）

A. 三角形不等式（Triangle Inequality）

Trigger（關鍵詞/條件）Tool（技巧）來源
等腰/等邊三角形＋一邊長度已知＋週界已知＋問「可組成幾種三角形」分兩種情況（該邊是腰／底）→ 每個情況都要驗證三角形不等式（兩邊之和嚴格大於第三邊），不能只計算不驗證Q1
四邊形＋比較「週界」與「對角線之和」的大小連對角線分割成三角形，分別證 2×AC<週界、2×BD<週界，相加得 對角線之和 恒 < 週界（與邊長順序無關）；⚠不要用對角線交點法，那證的是相反方向的不等式Q3
MC「which cannot/can form a triangle」給4組數字只需檢查最小兩邊之和 vs 最大邊是否嚴格大於，一步篩選，不用列全部三條不等式；含根號用近似值(√2≈1.414,√3≈1.732)心算MC1,MC5,MC11,MC17,MC23（五次重現，最高頻考點）
邊長含變量（如x, 2x−3）＋問「可組成幾個不同三角形」三條不等式全部列出求x的範圍交集（捷徑法在此不適用，因變量會改變誰是最大邊），另外檢查代數式本身必須為正，最後數落在範圍內的整數個數MC22

B. 內心（Incentre）

TriggerTool來源
「I is incentre」＋求 ∠BIC 類角度＋「Hence, show that it's obtuse/acute」兩步走：(i) 在△BIC用角和180°,兩底角=b/2,c/2,建立∠BIC與b,c的關係式;(ii) 必須代入 a+b+c=180° 消去變量,化成 90°+(某角)/2 的形式,再用「該角>0」完成證明——只做(i)不做(ii)=未完成Q4
等腰三角形＋incentre＋求「頂角被平分後」的角固定兩步：①等腰⟹底角相等⟹求出頂角;②內心在該頂點的角平分線上⟹目標角=頂角的一半Q8
「一條cevian同時具備角平分線+高」的身份通用結論：任兩種身份（角平分線/高/中線）重合⟹三角形必等腰⟹該cevian自動兼具全部三種身份（含中線,過重心)Q10
「I是incentre」＋已知兩角(或一角)＋求∠BIC/∠AIB/∠AIC公式直接代入：∠XIY=90°+∠Z/2（Z是與該角無關的第三個頂點），不需每次重新在小三角形列角和Q4(長答題), MC8, MC20（三次重現，全卷最高頻單一考點）
兩條角平分線交於一點O/D，但題目沒有給任何具體角度只有「第三條角平分線是否也過此點」這類定義性敘述恆真；涉及「是否為equilateral」「∠某=具體度數」這類數值性敘述，沒有數值支持就不一定成立——同一圖形結構,有沒有具體角度,結論可以完全不同MC14（對照Page2 Q6/MC6，同結構但有具體角度時可推出equilateral）
「平行線」+「一角平分線」（截線上）⟺「等腰三角形」可逆引理：①等腰+角平分線⟹平行（用等腰底角+已知角平分線⟹內錯角相等）；②平行+角平分線⟹等腰（內錯角相等+角平分線⟹兩角相等⟹等腰）。見到任一「因」直接調用對應「果」MC4（①方向）, MC21（②方向）

C. 外心（Circumcentre）

TriggerTool來源
「OA=OB=OC」或「到三頂點等距」外心的定義（perpendicular bisectors交點，即到三頂點等距的點＝外接圓圓心）；⚠不要與「重心」混淆，重心不具備等距性質MC3
「直角三角形」＋求外心外心＝斜邊中點；⚠先正確識別斜邊＝直角的對邊，不要誤把某條直角邊當成斜邊MC10, MC19

D. 垂心（Orthocentre）

TriggerTool來源
「直角三角形」＋求垂心不用畫高線找交點,直接答：垂心＝直角頂點（兩條直角邊本身就是兩條高）Q2(b), MC10, MC19

E. 內切圓半徑

TriggerTool來源
求內切圓半徑 r＋已知/可求三邊面積分割法：Area(ABC)=½r×(三邊之和)=r×半週界 sQ2(c)
求內切圓半徑 r＋直角三角形捷徑公式：r=(a+b−c)/2（a,b直角邊,c斜邊），比面積分割法快，兩者等價可互相驗證Q2(c)

F. 四心位置與三角形形狀對照

TriggerTool來源
「obtuse-angled triangle」+「哪些心在內部/外部」（正問或反問「must lie outside」皆適用）速查表：內心、重心恆在任何三角形內部；外心、垂心——銳角時在內部,直角時在斜邊上/頂點,鈍角時跑到外部MC2, MC13（互為正反提問）

G. 中點定理 / 重心

TriggerTool來源
平行四邊形＋一點是某邊中點＋另一線平行於對邊中點定理：不只給「平分＋平行」,同時給「長度=一半」——做完一步後主動檢查中點定理是否還「隱藏」另一個中點（本題F同時是DE和BC的中點）Q6
求證某點是三角形重心只需證明兩條cevian都是中線（各自過對邊中點）,兩中線交點即為重心,不必再驗證第三條Q6
問「重心是否落在某條線上」不需算重心座標,只需證明該線是不是一條中線（過某邊中點）,是就必過重心Q6, Q10
中點定理給代數式求未知數拆成兩條獨立方程：①對邊被平分(如AE=EC)→解一個未知數；②中位線=底邊一半(如DE=½BC)→解另一個未知數，不要混在同一條方程處理MC18
「medians交於重心」+求「頂點到重心的距離」(如AE)必須完整兩步：①求出完整中線長度(常配合等腰三線合一+勾股定理)；②再乘2/3才是頂點到重心的距離——不要把①的結果或圖上其他數字直接當答案MC15

H. 角平分線定理（面積證法）

TriggerTool來源
求證邊的比例關係（如 AF/FC=AB/BC）＋提示「by considering areas」一個面積比,兩種算法：(i) 兩三角形共高/共底⟹直接得比例;(ii) 用另一組底、高寫出同一比例的等價式;兩式相等即消去面積,推出邊比Q9

I. 複合圖形延伸角度

TriggerTool來源
梯形/平行線＋兩個「同旁互補角」的角平分線交於一點＋求交角恆定結果 90°：同旁內角互補⟹兩底角一半之和=90°⟹三角形內角和自動得交角=90°Q5
矩形/正方形內嵌菱形＋角平分線，多小題延伸一旦在前一小題求出關鍵角度,優先在同一個直角三角形用三角函數(tan, cos)速解後續邊長比例,不必重設座標或另起爐灶Q11(c)

J. 多cevian共線圖形的交叉驗證

TriggerTool來源
多點共線（如B,C,D,E在同一直線）＋altitude＋angle bisectoraltitude造成的直角對每一個以該點為頂點的小三角形都成立;列出多條三角形角和方程,同一角在不同三角形被重複用到,可互相驗證,自動抓出計算錯誤Q7
判斷是否為等腰三角形永遠回到「兩角是否相等」,且要用獨立算出的兩個角比較(不能用同一條算式重複代入,否則錯誤會自我掩蓋)Q7
複合垂心/多cevian圖形＋比較不同線段組合的大小第一步永遠是框出哪三個點構成一個獨立三角形，只在該三角形內部直接套用三角形不等式；跨三角形的比較要用「不等式疊加」(A>B,B>C⟹A>C)間接證明或推翻MC12

K. 全等延伸技巧

TriggerTool來源
多小題結構,前一小題已完成一次全等每次全等後,把三對對應邊、三對對應角全部列出來(不只題目直接用到那一兩個),下一小題常需要「順便」得到的其他對應元素Q12(c)
等腰三角形＋頂角平分線延長交底邊＋求證「垂直平分線」垂直平分線=兩個條件(過中點+垂直)同時成立;標準做法是再做一次SAS全等(頂點-底邊兩端-交點),一次過拿到「平分」與「垂直」兩個結論,不要只背「三線合一」定理名稱交卷Q12(c)

L. 等腰 vs 等邊——四心重合的界線（全卷最重要的陷阱之一）

TriggerTool來源
「等腰三角形」+ 問是否有兩種心重合（如重心=內心，或某cevian同時是高+中線+角平分線+中垂線）等腰只保證頂角這一條cevian四線合一(角平分線=高=中線=中垂線，但僅限從頂角出發那一條)；四心（內心/外心/重心/垂心）全部重合在同一點，是equilateral triangle的專屬性質，單純等腰不足以推出。用坐標驗證過：等腰但非equilateral時，重心與內心是同一軸上的兩個不同點MC24
「equilateral triangle」+ 任一頂點的median/altitude/角平分線/中垂線互相對應的敘述三線合一對三個頂點都同時成立，可一次性判斷全部為真，不需逐一驗證Q6(長答題)/MC6, MC16

二、跨題型易錯點總覽（Top Mistakes）

  1. 只計算不驗證：分情況討論後忘記用三角形不等式驗證合法性（Q1）
  2. 「Hence」漏用前題結果：只化簡出恒等式(0=0)而未真正代入已知條件完成證明鏈（Q4）
  3. 內心/垂心/重心/外心混淆：四種心的定義要分清楚（角平分線/高/中線/垂直平分線交點）（Q2, Q4）
  4. 多重共線點角度拆分錯誤：忘記某cevian是否在角的「內部」，導致∠總=∠部分1+∠部分2 的拆分方向錯（Q7）
  5. 最後一步純計算/謄寫錯誤：即使全部推導方向正確，仍要覆核最後一步減法/除法（Q7的60° vs 80°是典型案例）
  6. 忘記中點定理的「長度」半句：只用了「平行+平分」，漏用「長度=一半」這個關鍵延伸（Q6, Q11, MC18）
  7. 証明題只背定理名稱不寫全等過程：如「三線合一」「垂直平分線」等結論性定理，題目明確要求 prove 時必須重新走全等，不能跳步（Q12）
  8. 「必須成立」題把「圖形視覺上像」當成「邏輯上必然」：MC「which must be true」型題目，每個選項都要有完整推導鏈支持，不能因圖形畫得像某特殊四邊形/三角形就假設成立（MC4）
  9. 把「等腰」過度推廣成「等邊」的性質：等腰三角形只保證頂角那一條cevian四線合一，不能推出四心（內心/外心/重心/垂心）互相重合——那是equilateral的專屬性質（MC24，全卷最後也最容易中招的一條）
  10. 抓錯圖中數字當答案：計算流程只做了一半（如只求出中線AD，忘記乘2/3求AE），視線卻對到圖上另一個標注的數字直接當成答案（MC15）
  11. 外心/垂心位置定理用錯邊：直角三角形外心=斜邊中點時，先要正確識別哪條邊是斜邊（直角的對邊），不要誤代到其他邊（MC19）

三、使用建議

  • 做題前先掃一眼本表的「Trigger」欄，凡符合條件立即調用對應Tool，省去每次重新推導的時間。
  • 之後每做一份新的 past paper，把新出現的 Trigger（尤其是「多小題延伸」「複合圖形」類型）持續新增到對應主題底下，而不是只加公式。
  • 遇到「答案卡住」時，優先檢查「易錯點總覽」中的 11 條，很多時候問題不在方法錯，而在細節漏一步。
  • 全卷最高頻考點：三角形不等式判斷可否構成三角形（五次重現）、內心角公式∠XIY=90°+∠Z/2（三次重現）——這兩項應優先做到秒答不需重新推導。
  • 全卷最重要的分辨力：等腰 vs 等邊在「四心是否重合」這件事上的界線（見L節），以及「圖形視覺合理」不能替代「邏輯必然」（見易錯點8）。

四、CQ/MC 題號對照（來源速查）

長答題 Q1-Q12[年份/考試]選擇題 MC1-MC24[年份/考試]
Q1 三角形分類16-17 Mid-year #3MC1 三角形不等式16-17 Mid-year Q4
Q2 內心/垂心/內切圓16-17 Mid-year #13MC2 四心位置(obtuse)16-17 Mid-year Q7
Q3 四邊形對角線16-17 Mid-year #14MC3 外心定義16-17 Mid-year Q8
Q4 內心角∠BIC16-17 Final #18MC4 平行⟹等腰16-17 Mid-year Q19
Q5 梯形角平分線17-18 Mid-year #6MC5 三角形不等式16-17 Final Q5
Q6 平行四邊形重心17-18 Mid-year #11MC6 內心+equilateral16-17 Final Q23
Q7 高+角平分線18-19 Mid-year #5MC7 雙重等腰+內心17-18 Mid-year Q7
Q8 等腰+內心18-19 Mid-year #6MC8 內心角公式17-18 Mid-year Q15
Q9 角平分線定理(面積)18-19 Final #12MC9 等邊三角形不等式17-18 Mid-year Q17
Q10 角平分線兼高⟹中線19-20 Mid-year #11MC10 直角三角形外心/垂心17-18 Mid-year Q19
Q11 矩形+菱形複合19-20 Mid-year #13MC11 三角形不等式18-19 Mid-year Q5
Q12 三線合一綜合20-21 Mid-year #6MC12 垂心圖形不等式18-19 Mid-year Q6
MC13 四心位置(obtuse,反問)18-19 Mid-year Q10
MC14 內心結構(無角度)18-19 Mid-year Q18
MC15 重心2:1分中線18-19 Mid-year Q19
MC16 equilateral三線合一18-19 Final Q18
MC17 三角形不等式19-20 Mid-year Q7
MC18 中點定理求未知數19-20 Mid-year Q10
MC19 直角三角形四心(陷阱)19-20 Mid-year Q11
MC20 內心角公式19-20 Mid-year Q19
MC21 等腰⟹平行(逆定理)20-21 Mid-year #4
MC22 變量三角形不等式20-21 Mid-year #8
MC23 三角形不等式20-21 Final #4
MC24 重心+等腰界線20-21 Final #23